在概率论与统计学中，指数分布是一种重要的连续概率分布，广泛应用于描述事件发生的时间间隔。例如，在排队理论、可靠性工程和生存分析等领域，指数分布常被用来建模随机变量的行为。
一、指数分布的基本定义
假设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda > 0 \) 的指数分布，则其概率密度函数（PDF）可以表示为：
\[
f(x; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
累积分布函数（CDF）则为：
\[
F(x; \lambda) = P(X \leq x) =
\begin{cases}
1 - e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
二、指数分布的期望值推导
随机变量 \( X \) 的期望值 \( E[X] \) 定义为：
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x; \lambda) dx.
\]
由于 \( f(x; \lambda) \) 在 \( x < 0 \) 处为零，因此积分范围可简化为 \( [0, +\infty) \)。于是有：
\[
E[X] = \int_0^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx.
\]
接下来进行分步计算：
1. 引入变量替换：令 \( u = \lambda x \)，则 \( du = \lambda dx \)，且当 \( x \to 0 \)，\( u \to 0 \)；当 \( x \to +\infty \)，\( u \to +\infty \)。
替换后得到：
\[
E[X] = \int_0^{+\infty} \frac{u}{\lambda} e^{-u} \frac{du}{\lambda}.
\]
2. 化简表达式：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda^2} \int_0^{+\infty} u e^{-u} du.
\]
3. 使用伽马函数性质：伽马函数 \( \Gamma(n) = \int_0^{+\infty} t^{n-1} e^{-t} dt \)，当 \( n = 2 \) 时，\( \Gamma(2) = 1! = 1 \)。
因此：
\[
\int_0^{+\infty} u e^{-u} du = \Gamma(2) = 1.
\]
4. 最终结果：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda}.
\]
三、指数分布的方差推导
随机变量 \( X \) 的方差 \( D[X] \) 定义为：
\[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2.
\]
首先计算 \( E[X^2] \)：
\[
E[X^2] = \int_0^{+\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx.
\]
类似地，利用变量替换 \( u = \lambda x \)，\( du = \lambda dx \)，并结合伽马函数性质 \( \Gamma(3) = 2! = 2 \)，可得：
\[
E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}.
\]
代入方差公式：
\[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}.
\]
四、结论
综上所述，对于参数为 \( \lambda > 0 \) 的指数分布：
- 其期望值为 \( E[X] = \frac{1}{\lambda} \)；
- 其方差为 \( D[X] = \frac{1}{\lambda^2} \)。
这些结果通过严格的数学推导验证了指数分布在实际应用中的重要性及其统计特性。
