【二次函数的求根公式是什么?】在数学中，二次函数是一类非常重要的函数形式，其标准形式为：
$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $。对于这样的函数，我们常常需要求出它的根，也就是使得 $ f(x) = 0 $ 的 $ x $ 值。
为了求解这个方程，数学家们总结出了一个通用的公式，称为求根公式（或求根公式），也叫做求根定理。
一、求根公式的定义
二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解可以用以下公式表示：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项；
- $ \sqrt{b^2 - 4ac} $ 叫做判别式，用 $ D $ 表示。
二、判别式的含义
判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 决定了二次方程的根的性质：
| 判别式 $ D $ | 根的情况 |
| $ D > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ D = 0 $ | 有一个实数根（即两个相同的实数根） |
| $ D < 0 $ | 没有实数根，有两个共轭复数根 |
三、求根公式的使用步骤
1. 确定系数：从方程中找出 $ a $、$ b $、$ c $。
2. 计算判别式：代入公式 $ D = b^2 - 4ac $。
3. 判断根的类型：根据判别式的正负判断根的性质。
4. 代入求根公式：计算两个可能的根。
四、示例解析
假设我们有方程：
$$ 2x^2 + 5x + 3 = 0 $$
- $ a = 2 $, $ b = 5 $, $ c = 3 $
- 判别式 $ D = 5^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1 $
- 因为 $ D > 0 $，所以有两个不同的实数根
代入公式得：
$$
x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 1}{4}
$$
所以：
- $ x_1 = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $
- $ x_2 = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 二次方程求根公式 |
| 公式表达 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ |
| 根的性质 | 根据 $ D $ 的值判断 |
| 应用场景 | 解二次方程、分析函数图像与横轴交点等 |
通过掌握这个公式，我们可以快速求解各种二次方程，并了解它们的根的性质，是学习代数和函数的重要基础。
