【常见随机变量的期望和方差表】在概率论与数理统计中，随机变量的期望和方差是描述其分布特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了其围绕期望值的波动程度。为了便于学习和应用，下面对一些常见的离散型和连续型随机变量的期望与方差进行总结，并以表格形式呈现。
一、离散型随机变量
| 随机变量X | 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望E(X) | 方差D(X) |
| X | 0-1分布 | P(X=1)=p, P(X=0)=1-p | p | p(1-p) |
| X | 二项分布 | P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} | np | np(1-p) |
| X | 泊松分布 | P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k! | λ | λ |
| X | 几何分布 | P(X=k)=(1-p)^{k-1}p | 1/p | (1-p)/p² |
| X | 超几何分布 | P(X=k)=C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n) | nK/N | nK(N-K)(N-n)/(N²(N-1)) |
二、连续型随机变量
| 随机变量X | 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望E(X) | 方差D(X) |
| X | 均匀分布 | f(x)=1/(b-a), a ≤ x ≤ b | (a+b)/2 | (b-a)²/12 |
| X | 指数分布 | f(x)=λe^{-λx}, x ≥ 0 | 1/λ | 1/λ² |
| X | 正态分布 | f(x)=1/√(2πσ²)e^{-(x-μ)²/(2σ²)} | μ | σ² |
| X | 伽马分布 | f(x)=x^{α-1}e^{-x/β}/(β^αΓ(α)) | αβ | αβ² |
| X | β分布 | f(x)=x^{α-1}(1-x)^{β-1}/B(α,β) | α/(α+β) | αβ/[(α+β)^2(α+β+1)] |
三、小结
上述表格涵盖了常见的离散与连续随机变量及其对应的期望和方差。这些数值在实际问题建模、数据分析和统计推断中具有重要的参考价值。掌握这些基础概念有助于更好地理解随机现象的规律性，并为后续更复杂的统计模型打下坚实的基础。
在使用这些公式时，需要注意分布参数的定义范围及适用条件，确保计算结果的准确性。此外，不同教材或资料中可能对某些分布的参数表示略有差异，建议结合具体应用场景进行确认。
