【向量叉乘公式】向量叉乘是向量运算中的一种重要方式，常用于三维空间中的物理和数学问题中，如计算力矩、旋转方向、面积等。它与点积不同，叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所组成的平面。
一、向量叉乘的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘（记作 a × b）是一个新的向量，其模长为：
$$
$$
其中 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。
叉乘的方向由右手定则决定：伸出右手，四指从 a 指向 b，拇指指向 a × b 的方向。
二、向量叉乘的公式
向量叉乘的计算公式如下：
$$
a \times b =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||
| 结果类型 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于 a 和 b 所在的平面，由右手定则确定 | ||||
| 模长 | $ | a | b | \sin\theta $ | |
| 交换律 | 不满足，$ a \times b = -b \times a $ | ||||
| 分配律 | 满足，$ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $ | ||||
| 与零向量的关系 | $ a \times 0 = 0 $，$ 0 \times a = 0 $ | ||||
| 与自身叉乘 | $ a \times a = 0 $ |
四、应用举例
- 计算面积：三角形或平行四边形的面积等于两向量叉乘模长的一半。
- 求法线方向：在计算机图形学中，叉乘用于计算平面的法线方向。
- 物理应用：如磁场对运动电荷的作用力（洛伦兹力）。
五、小结
向量叉乘是向量运算中非常重要的工具，具有明确的几何意义和广泛的应用场景。掌握其公式和性质有助于理解和解决许多实际问题。通过表格形式可以更清晰地对比叉乘与其他向量运算的不同之处，便于记忆和应用。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
