在大学数学的学习过程中，高等数学中的极限问题一直是一个重要的知识点。尤其是对于刚进入大学的大一学生来说，掌握极限的概念及其相关证明方法是学好高数的基础。下面我们将通过两道典型的极限证明题来帮助大家更好地理解这一部分内容。

题目一：证明 lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e

这是一道经典的极限证明题，涉及到自然对数e的定义。我们需要利用极限的性质以及一些基本不等式来进行证明。

解法：

首先，设y = (1 + 1/x)^x，则ln(y) = x ln(1 + 1/x)。接下来我们研究ln(y)的极限：

当x趋于无穷时，ln(1 + 1/x) ≈ 1/x（根据泰勒展开），所以：

ln(y) ≈ x (1/x) = 1

因此，当x趋于无穷时，ln(y)趋于1，从而y趋于e。这就完成了题目一的证明。

题目二：证明 lim(x→0) sin(x)/x = 1

这个极限也是高数中非常基础且重要的结论之一。它不仅用于证明其他更复杂的极限问题，还与三角函数的性质密切相关。

解法：

为了证明该极限等于1，我们可以借助夹逼定理。考虑单位圆上的一个扇形，其半径为1，角度为θ。扇形的面积介于两个三角形之间，这两个三角形分别是内接于扇形的直角三角形和外切于扇形的直角三角形。

通过几何分析可以得出：

(1/2) θ ≤ (1/2) sin(θ) ≤ (1/2) tan(θ)

两边同时除以(1/2) sin(θ)，得到：

1 ≤ θ / sin(θ) ≤ 1 / cos(θ)

当θ趋于0时，cos(θ)趋于1，因此由夹逼定理可知，lim(θ→0) θ / sin(θ) = 1。取倒数即可得到lim(x→0) sin(x)/x = 1。

以上就是两道典型的大一高数极限证明题及其详细解答过程。希望这些例子能够帮助同学们加深对极限概念的理解，并提高解决此类问题的能力。记住，在面对复杂的数学问题时，耐心和细致的思考是非常关键的！