在数学分析中，概率积分公式是一个非常重要的结论，它不仅在理论研究中有广泛应用，而且在实际问题解决中也扮演着关键角色。本文将从定义出发，详细推导并证明这一公式的正确性。
一、概率积分公式的表述
概率积分公式通常指的是以下形式：
\[
I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\]
这个公式表明，标准正态分布的概率密度函数在整个实数域上的积分值为 \(\sqrt{\pi}\)。这一结果看似简单，但其背后的推导过程却蕴含了深刻的数学思想。
二、公式的推导步骤
1. 引入二维形式
为了便于计算，我们首先考虑该积分的平方形式：
\[
I^2 = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy
\]
由于两个变量 \(x\) 和 \(y\) 是独立的，我们可以将其合并为一个双重积分：
\[
I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dx dy
\]
2. 转换到极坐标系
在直角坐标系下计算上述积分较为复杂，因此我们选择转换到极坐标系。令 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，则有：
\[
x^2 + y^2 = r^2, \quad dx dy = r dr d\theta
\]
同时，积分区域变为 \(r \in [0, +\infty)\)，\(\theta \in [0, 2\pi]\)。于是，原积分变为：
\[
I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r dr d\theta
\]
3. 分离变量
注意到积分可以分离为关于 \(r\) 和 \(\theta\) 的两部分：
\[
I^2 = \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \cdot \left( \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r dr \right)
\]
计算第一项：
\[
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
\]
对于第二项，令 \(u = r^2\)，则 \(du = 2r dr\)，且当 \(r \to 0\) 时 \(u \to 0\)，当 \(r \to +\infty\) 时 \(u \to +\infty\)。因此：
\[
\int_0^{+\infty} e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2}
\]
4. 合并结果
将以上结果代入，得到：
\[
I^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi
\]
因此，原积分 \(I\) 满足：
\[
I = \sqrt{\pi}
\]
三、公式的几何意义
概率积分公式不仅具有严格的数学意义，还具有直观的几何解释。通过引入极坐标变换，我们可以将其视为单位圆面积的某种推广形式。这种联系使得概率积分公式成为连接代数与几何的重要桥梁。
四、总结
通过对概率积分公式的推导和证明，我们展示了如何利用变量替换和分离变量的思想简化复杂的积分问题。这一方法不仅适用于概率积分，还可以推广到其他类似的高维积分问题中。希望本文能够帮助读者更好地理解这一经典公式的内涵及其应用价值。
最终答案：
\[
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}}
\]
