在几何学中，三角形是最基本且最重要的图形之一。它由三条线段首尾相连组成，具有丰富的性质和广泛的应用。为了更好地理解和运用三角形，掌握其相关的公式和定理是必不可少的。以下将系统地整理三角形的所有重要公式与定理。
一、基础概念与定义
1. 三角形分类：
- 按边长分：等边三角形（三边相等）、等腰三角形（两边相等）、不等边三角形。
- 按角度分：锐角三角形（所有内角小于90°）、直角三角形（有一个内角为90°）、钝角三角形（有一个内角大于90°）。
2. 三角形的基本元素：
- 顶点：三角形的三个顶点。
- 边：连接两个顶点的线段。
- 角：两条边之间的夹角。
- 高：从一个顶点向对边作垂线，垂足到对边的距离。
- 中线：从一个顶点到对边中点的连线。
- 角平分线：从一个顶点出发，平分该角的线。
二、面积公式
1. 基本面积公式：
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{底边} \times \text{高}
\]
其中，底边可以任意选取。
2. 海伦公式：
若已知三边长 \(a, b, c\)，则面积为：
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]
其中，\(s = \frac{a+b+c}{2}\) 是半周长。
3. 正弦定理下的面积公式：
\[
S = \frac{1}{2}ab\sin C
\]
其中，\(C\) 是边 \(c\) 对应的角。
三、勾股定理及其扩展
1. 勾股定理：
在直角三角形中，满足：
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
其中，\(c\) 是斜边，\(a, b\) 是两条直角边。
2. 余弦定理：
对于任意三角形，有：
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
\]
四、三角形的特殊性质
1. 内角和定理：
三角形的三个内角之和恒等于 \(180^\circ\)。
2. 外角定理：
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。
3. 中位线定理：
连接三角形两边中点的线段称为中位线，其长度等于第三边的一半，并且平行于第三边。
4. 重心定理：
三角形的三条中线交于一点，该点称为重心，重心将每条中线分为 \(2:1\) 的比例。
5. 内心与外心：
- 内心是三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等。
- 外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。
五、三角形的其他重要定理
1. 正弦定理：
对于任意三角形，有：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
其中，\(R\) 是外接圆的半径。
2. 费马点定理：
对于任意三角形，存在一点使其到三个顶点的距离之和最小，称为费马点。
3. 斯图尔特定理：
若点 \(P\) 分割边 \(BC\) 成 \(m:n\) 的比例，则有：
\[
AP^2 = \frac{n}{m+n}AB^2 + \frac{m}{m+n}AC^2 - mn
\]
通过以上公式和定理的学习，我们可以更加深入地理解三角形的几何特性，并将其应用于实际问题中。这些知识不仅是数学学习的基础，也是解决复杂问题的重要工具。希望本文能够帮助读者全面掌握三角形的相关内容，提升解题能力。
