在解决这个问题之前，我们首先需要明确几个基本概念。圆的周长公式为 \(C = 2\pi r\)，其中 \(r\) 是圆的半径，而 \(\pi\) 约等于3.14。面积公式则为 \(A = \pi r^2\)。

第一步：计算原圆的半径

已知圆的周长 \(C = 62.8\) 米，根据周长公式 \(C = 2\pi r\)，我们可以求出原圆的半径：

\[ r = \frac{C}{2\pi} = \frac{62.8}{2 \times 3.14} = 10 \, \text{米} \]

第二步：计算原圆的面积

利用面积公式 \(A = \pi r^2\)，可以得出原圆的面积：

\[ A_{\text{原}} = \pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \, \text{平方米} \]

第三步：计算新圆的半径和面积

当半径增加了3米后，新的半径为 \(r_{\text{新}} = 10 + 3 = 13 \, \text{米}\)。此时，新圆的面积为：

\[ A_{\text{新}} = \pi r_{\text{新}}^2 = 3.14 \times 13^2 = 530.66 \, \text{平方米} \]

第四步：计算面积的增加量

面积的增加量为新圆的面积减去原圆的面积：

\[ \Delta A = A_{\text{新}} - A_{\text{原}} = 530.66 - 314 = 216.66 \, \text{平方米} \]

最终答案：

当半径增加了3米后，圆的面积增加了 216.66平方米。

通过以上步骤，我们不仅解决了问题，还复习了圆的基本几何性质。希望这个解答能帮助你更好地理解相关知识！