【正交化怎么计算】在数学和线性代数中，正交化是一种将一组向量转换为两两正交的向量组的方法。它在许多领域如信号处理、数值分析、机器学习等都有广泛应用。正交化的主要目的是为了简化计算，提高数值稳定性，并便于后续的投影、分解等操作。
常见的正交化方法有Gram-Schmidt正交化法和Householder变换等。其中，Gram-Schmidt正交化是较为基础且常用的算法，适用于二维或三维空间中的向量组。
一、正交化的基本概念
- 正交向量：两个向量的点积为零，即它们互相垂直。
- 正交化：将一组线性无关的向量转换为一组两两正交的向量。
- 标准正交化：不仅要求正交，还要求每个向量的模长为1。
二、Gram-Schmidt正交化过程（以三维空间为例）
假设有一组线性无关的向量 $ \{v_1, v_2, v_3\} $，我们希望将其转化为正交向量组 $ \{u_1, u_2, u_3\} $，并进一步标准化为单位正交向量 $ \{e_1, e_2, e_3\} $。
步骤如下：
| 步骤 | 公式 | 说明 | ||
| 1 | $ u_1 = v_1 $ | 第一个向量保持不变 | ||
| 2 | $ u_2 = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 $ | 从 $ v_2 $ 中减去与 $ u_1 $ 的投影 | ||
| 3 | $ u_3 = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2 $ | 从 $ v_3 $ 中减去与 $ u_1 $ 和 $ u_2 $ 的投影 | ||
| 4 | $ e_i = \frac{u_i}{\ | u_i\ | } $ | 将每个正交向量单位化 |
三、示例计算
假设向量组为：
- $ v_1 = (1, 1, 0) $
- $ v_2 = (1, 0, 1) $
- $ v_3 = (0, 1, 1) $
按照Gram-Schmidt步骤计算：
1. $ u_1 = v_1 = (1, 1, 0) $
2. 计算 $ u_2 $：
- $ v_2 \cdot u_1 = 11 + 01 + 10 = 1 $
- $ u_1 \cdot u_1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 $
- $ u_2 = v_2 - \frac{1}{2}u_1 = (1, 0, 1) - (0.5, 0.5, 0) = (0.5, -0.5, 1) $
3. 计算 $ u_3 $：
- $ v_3 \cdot u_1 = 01 + 11 + 10 = 1 $
- $ v_3 \cdot u_2 = 00.5 + 1(-0.5) + 11 = 0.5 $
- $ u_2 \cdot u_2 = 0.5^2 + (-0.5)^2 + 1^2 = 0.25 + 0.25 + 1 = 1.5 $
- $ u_3 = v_3 - \frac{1}{2}u_1 - \frac{0.5}{1.5}u_2 = (0, 1, 1) - (0.5, 0.5, 0) - (0.1667, -0.1667, 0.3333) = (-0.6667, 1.6667, 0.6667) $
最后对 $ u_1, u_2, u_3 $ 进行单位化即可得到标准正交向量。
四、总结
| 概念 | 内容 |
| 正交化 | 将一组向量转化为两两正交的向量组 |
| Gram-Schmidt | 常用的正交化方法，适用于低维空间 |
| 标准正交化 | 在正交基础上，使每个向量长度为1 |
| 应用 | 数值计算、信号处理、数据降维等 |
通过正交化，我们可以更高效地进行投影、求解方程组、优化等问题。理解其原理和计算步骤对于掌握线性代数的核心思想具有重要意义。
